Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x) - 3}{8 x^{3} + 1}$

Paso 1.1.2

Reescribe $- 4$ como $2$ más $- 6$

$\frac{4 x^{2} + (2 - 6) x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 6 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x) - 6 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}{8 x^{3} + 1}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{8 x^{3} + 1}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{{(2 x)}^{3} + 1}$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{{(2 x)}^{3} + 1^{3}}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 2.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 2.4.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

Paso 2.4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x - 3}{4 x^{2} - 2 x + 1}$